حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 5

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 6

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7

وسّع $(x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{8} + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{8} x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{8 - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.4

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.5

اجمع $8$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{8 \cdot 2 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اضرب $8$ في $2$ .

$\int x^{\frac{16 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.7.2

اطرح $1$ من $16$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.9

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.10

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.12.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{\frac{15}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{15}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 11

أعِد كتابة $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ بالصيغة $- x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط.

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 14.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$