حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ بالصيغة $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\int (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $\sec (x) \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.2

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $\tan (x) \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

خطوة 4.3.1.2.2

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

خطوة 4.3.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 4.3.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

خطوة 4.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\tan (x) \sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

خطوة 4.3.3

أضف $\sec (x) \tan (x)$ و $\sec (x) \tan (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

خطوة 6

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\tan (x) + C + 2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

خطوة 8

بما أن مشتق $\sec (x)$ هو $\sec (x) \tan (x)$ ، إذن تكامل $\sec (x) \tan (x)$ هو $\sec (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

خطوة 9

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 12

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \tan (x) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $\tan (x)$ و $\tan (x)$ .

$C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + 2 \tan (x) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

$2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$