حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

خطوة 1

اكتب $3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = 1 - 2 x$ و $d v = \sqrt{x}$ .

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $- 2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

خطوة 6.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

خطوة 6.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

خطوة 8.2

اضرب $\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ في $1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

خطوة 9

بما أن $\frac{4}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{4}{3}$ خارج التكامل.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 11.2

أعِد كتابة $3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ بالصيغة $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

لكتابة $- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

اضرب $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3.2.2

اضرب $3$ في $5$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3.4

اضرب $5$ في $- 4$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3.5

أضف $- 20 x^{\frac{5}{2}}$ و $8 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3.6

أخرِج العامل $3$ من $- 12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

خطوة 11.3.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

خطوة 11.3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

خطوة 11.3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.4.3

اضرب $3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

خطوة 11.4.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

خطوة 11.4.3.3

اضرب $4$ في $- 3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

خطوة 11.4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$