حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{1}{2}} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب في $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

خطوة 4.1.2.2

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $- x$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

خطوة 4.1.2.3

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{2}}$ من $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.3.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 5

انقُل $x^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 6

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

خطوة 6.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 7.2

اضرب $x^{- \frac{3}{2}}$ في $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 7.3

أخرِج السالب.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

خطوة 7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

خطوة 7.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

خطوة 7.6

اطرح $3$ من $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

خطوة 7.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

خطوة 7.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

خطوة 7.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

خطوة 7.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

خطوة 7.7.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

خطوة 7.8

أعِد ترتيب $x^{- \frac{3}{2}}$ و $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 10

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 12.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$