حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (\ln (x))$

خطوة 1

اكتب $\sin (\ln (x))$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

خطوة 5

أعِد ترتيب $e^{u}$ و $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

خطوة 6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = \sin (u)$ و $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

خطوة 7

أعِد ترتيب $e^{u}$ و $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

خطوة 8

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = \cos (u)$ و $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

خطوة 10

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

خطوة 10.2

اضرب $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ في $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

خطوة 11

بإيجاد قيمة $\int e^{u} \sin (u) d u$ ، وجدنا أن $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

خطوة 12

أعِد كتابة $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ بالصيغة $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

خطوة 14.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

خطوة 14.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

خطوة 14.4

اضرب $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اجمع $\sin (\ln (x))$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

خطوة 14.4.2

اجمع $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ و $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

خطوة 14.5

اضرب $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

خطوة 14.5.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

خطوة 14.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

خطوة 15

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$