حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sec^{3} (θ)$

خطوة 1

اكتب $\sec^{3} (θ)$ في صورة دالة.

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (θ)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

خطوة 4

أخرِج العامل $\sec (θ)$ من $\sec^{3} (θ)$ .

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (θ)$ و $d v = \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

خطوة 6

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

خطوة 7

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (θ)$ و $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

خطوة 10

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (θ)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

خطوة 11

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

خطوة 11.3

أعِد ترتيب $\sec (θ)$ و $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

خطوة 12

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

خطوة 13

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

خطوة 14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

خطوة 15

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

خطوة 16

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

خطوة 17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

خطوة 18

أضف $2$ و $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

خطوة 19

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

خطوة 20

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

خطوة 21

تكامل $\sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

خطوة 22

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

خطوة 22.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

خطوة 23

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (θ) d θ$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

خطوة 24

اضرب $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ في $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

خطوة 25

بسّط.

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

خطوة 26

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$