حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

خطوة 1

اكتب $x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

خطوة 4.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

خطوة 4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{1 + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

خطوة 4.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{3 + 1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

خطوة 4.2.4

أضف $3$ و $1$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

خطوة 4.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 4.4

اضرب $x^{3}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

خطوة 4.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

خطوة 4.4.3

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

خطوة 4.4.4

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

خطوة 4.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

خطوة 4.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.6.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

خطوة 4.4.6.2

أضف $1$ و $6$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{4}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{7}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{9}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

خطوة 9.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{6}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

خطوة 9.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 (2)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

خطوة 9.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

خطوة 9.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

خطوة 9.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$