حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 + \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1

اكتب $1 + \sin (x) \cos (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 1 + \sin (x) \cos (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 1 + \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C + \int u d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 8

بسّط.

$x + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$x + \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 1 + \sin (x) \cos (x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$