حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - \infty} (x^{2} - x^{3}) e^{2 x}$

خطوة 1

أعِد كتابة $(x^{2} - x^{3}) e^{2 x}$ بالصيغة $\frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - x^{3}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $- x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 2.1.2.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية معامله الرئيسي سالب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 2.1.3

بما أن الأُس $- 2 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- 2 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3.4.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 2.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 2.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 2.3.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

خطوة 2.3.9

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

خطوة 2.3.10

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x) + 2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x) + x \cdot 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- 3 x) + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x + 2)}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- 3 x + 2)}{(2) e^{- 2 x}}$

خطوة 2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x) + 2)}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x) - 1 (- 2))}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x - 2))}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.9

أعِد كتابة $- (3 x - 2)$ بالصيغة $- 1 (3 x - 2)$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- 1 (3 x - 2))}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to - \infty} - - \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.11

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} 1 \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 2.12

اضرب $\frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 3

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{e^{- 2 x}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} x (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot 3 x + x \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot x \cdot x + x \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2.2.2

أعِد ترتيب $x$ و $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot x \cdot x - 2 \cdot x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1} x - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1} x^{1} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1 + 1} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{2} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.2.7

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة زوجية معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 4.1.3

بما أن الأُس $- 2 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- 2 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.8

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.9

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot x + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + (3 x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.11

اضرب $3 x - 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 3 x - 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.12

أضف $3 x$ و $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 4.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.13.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 4.3.13.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 4.3.13.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 4.3.14

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 4.3.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.16

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

خطوة 4.3.17

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- 2 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 4.4

احذِف العامل المشترك لـ $6 x - 2$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 3 x - 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 3 x + 2 (- 1)}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{- 2 e^{- 2 x}}$

خطوة 4.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{- 2 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{2 \cdot - 1 e^{- 2 x}}$

خطوة 4.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{2 \cdot - 1 e^{- 2 x}}$

خطوة 4.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 1}{- e^{- 2 x}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x - 1}{lim_{x \to - \infty} - e^{- 2 x}}$

خطوة 5.1.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية ومعامله الرئيسي موجب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{- 2 x}}$

خطوة 5.1.3

بما أن الدالة $e^{- 2 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $- 1$ المحذوف.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

خطوة 5.1.3.2

بما أن الأُس $- 2 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- 2 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 5.1.3.3

بما أن الدالة $e^{- 2 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

خطوة 5.1.3.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{- \infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 1}{- e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 + 0}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.5

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- 2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 5.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 5.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

خطوة 5.3.8

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.9

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x} \cdot 1}$

خطوة 5.3.11

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x}}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{3}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 0$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

خطوة 8.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{3}{4}$ في $0$ .

$0$