حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.2

انقُل الحد $7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{7 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.1

اضرب $7$ في $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.5.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.2.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 1.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

خطوة 1.3.4

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 1.3.6.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

خطوة 1.3.6.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.3.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.6.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3

اضرب $7$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.4.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + \sin (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 3.7.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 3.7.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 3.7.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 3.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

خطوة 3.7.4

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) \cdot 3}$

خطوة 3.7.5

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $7$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{7 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}$

خطوة 9

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}$

خطوة 10

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

خطوة 11

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

خطوة 12

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 13

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 - \cos (0)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 - \cos (0)}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 13.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{7 - \cos (0)}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{7 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 14.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{7 - 1}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 14.1.3

اطرح $1$ من $7$ .

$\frac{6}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 14.2.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cos (0)}$

خطوة 14.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cdot 1}$

خطوة 14.2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{6}{0 + 3}$

خطوة 14.2.5

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{6}{3}$

خطوة 14.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

خطوة 14.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

خطوة 14.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

خطوة 14.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1}$

خطوة 14.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$