حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}})$ بنقل $\frac{13}{2 \ln (x)}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{13}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{13}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{13}{2 \ln (x)}$ و $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{13 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $\frac{13}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

خطوة 3.1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

خطوة 3.1.3

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.7

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.9

اضرب $\frac{2}{1 + 2 x}$ في $1$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.10

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

خطوة 3.3.11

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{2}{2 x + 1}$ و $x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

خطوة 4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

خطوة 5

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 6.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 6.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 6.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 6.6

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{13 \frac{1}{2 + 0}}$

خطوة 8.2

أضف $2$ و $0$ .

$e^{13 (\frac{1}{2})}$

خطوة 8.3

اجمع $13$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{13}{2}}$