حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{2 x + 5}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x + 5)}{lim_{x \to \infty} 2 x + 5}$

خطوة 1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + 5}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{2 x + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 3 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.8

أضف $3$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.9

اجمع $\frac{1}{3 x + 5}$ و $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

خطوة 3.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

خطوة 3.11

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

خطوة 3.11.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}$

خطوة 3.11.3

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 + \frac{d}{d x} [5]}$

خطوة 3.12

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 + 0}$

خطوة 3.13

أضف $2$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{3 x + 5} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{3}{3 x + 5}$ في $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{(3 x + 5) \cdot 2}$

خطوة 5.2

انقُل الحد $\frac{3}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 5}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{3 x + 5}$ يقترب من $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0$

خطوة 7

اضرب $\frac{3}{2}$ في $0$ .

$0$