حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

خطوة 1

عيّن الحد في صورة حد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

خطوة 2

احسِب قيم النهايات بالتعويض بقيمة المتغير.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\cot (0)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

خطوة 2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

خطوة 2.4

بما أن $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ غير معرّفة، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$

خطوة 3

عيّن الحد في صورة حد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

خطوة 4

احسِب قيمة الحد أيمن الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

خطوة 4.1.1.2

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتزايد قيم الدالة بلا حدود.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

خطوة 4.1.1.3

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (x)$ بلا حدود.

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 4.1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 4.1.2

بما أن $\frac{\infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 4.1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 4.1.3.2

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 4.1.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

خطوة 4.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $- \csc^{2} (x) x$ بالصيغة $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

خطوة 4.3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

خطوة 4.3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

خطوة 4.3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

خطوة 4.3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

خطوة 4.3.1.3.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 4.3.1.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 4.3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 4.3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

خطوة 4.3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

خطوة 4.3.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

خطوة 4.3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

خطوة 4.3.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

خطوة 4.3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

خطوة 4.3.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

خطوة 4.3.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

خطوة 4.3.3.6

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

خطوة 4.3.3.7

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

خطوة 4.3.3.8

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

خطوة 4.3.3.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

خطوة 4.3.3.10

اطرح $3$ من $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

خطوة 4.3.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.11.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

خطوة 4.3.3.11.2

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

خطوة 4.3.3.11.3

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

خطوة 4.3.3.11.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.11.4.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

خطوة 4.3.3.11.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

خطوة 4.3.3.11.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

خطوة 4.3.3.11.5

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

خطوة 4.3.4

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

خطوة 4.3.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (2 x)}$ إلى $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

خطوة 4.3.6

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

خطوة 4.4

بما أن الدالة $\csc (2 x)$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $- 1$ المحذوف.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

خطوة 4.4.2

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتزايد قيم الدالة بلا حدود.

$\infty$

خطوة 4.4.3

بما أن الدالة $\csc (2 x)$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

$- \infty$

خطوة 5

إذا كان أي من الحدين أحاديي الجانب غير موجود، إذن لا يوجد حد.

$لا يوجد$