حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.3.1.2

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

خطوة 1.3.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

خطوة 1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

خطوة 1.3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \ln (\sec (x))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

خطوة 3.4.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

خطوة 3.6

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

خطوة 3.7

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

خطوة 3.8

احذِف الأقواس.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

خطوة 3.9

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

خطوة 3.10

احذِف الأقواس.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

خطوة 3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

أضف الأقواس.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

خطوة 3.11.1.2

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

خطوة 3.11.1.3

أعِد كتابة $2 \cos (x) \sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

خطوة 3.11.1.4

ألغِ العوامل المشتركة.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

خطوة 3.11.2

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

خطوة 3.11.3

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

خطوة 3.11.4

اجمع $2$ و $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

خطوة 5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $2$ و $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

خطوة 5.2

اجمع $x$ و $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

خطوة 6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

خطوة 7

حوّل من $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ إلى $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

خطوة 8

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

خطوة 9

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $x \cot (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

خطوة 10

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $1$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $x \cot (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $1$ .

$1$

خطوة 11

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

خطوة 12

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $x \cot (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

خطوة 13

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $1$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $x \cot (x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $1$ .

$1$