حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

خطوة 1.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

خطوة 1.3.1.2

انقُل الحد $5 π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

خطوة 1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{0}{\sin (5 π)}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

خطوة 1.3.3.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 1.3.3.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

خطوة 3.4

بما أن $5 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

خطوة 3.6

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π)}$

خطوة 3.7

احذِف الأقواس.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \cdot 5 π}$

خطوة 3.8

انقُل $5$ إلى يسار $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cdot \cos (5 π x) π}$

خطوة 3.9

اضرب $5$ في $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cos (5 π x) π}$

خطوة 3.10

أعِد ترتيب عوامل $5 \cos (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 π \cos (5 π x)}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$

خطوة 5

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (5 π \cos (5 π x))}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{1}{5 π}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{5 π} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (\cos (5 π x))}$

خطوة 7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

خطوة 8

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

خطوة 9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

خطوة 10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

خطوة 11

انقُل الحد $5 π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

خطوة 12

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

خطوة 12.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

خطوة 13

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

خطوة 13.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$

خطوة 13.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$ إلى $\sec (5 π \cdot 1)$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π \cdot 1)$

خطوة 13.3

اضرب $5 π$ في $1$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π)$

خطوة 13.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (π)$

خطوة 13.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن القاطع سالب في الربع الثاني.

$\frac{1}{5 π} (- \sec (0))$

خطوة 13.6

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{5 π} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 13.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot - 1$

خطوة 13.8

اجمع $\frac{1}{5 π}$ و $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 π}$

خطوة 13.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{5 π}$