حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{18}}}{lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 1.2

بما أن الأُس $\frac{x}{18}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{\frac{x}{18}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{x}{18}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

بما أن $\frac{1}{18}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{18}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} (\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{1}{18}$ و $e^{\frac{x}{18}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.6

اضرب $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{1}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1$

خطوة 5

اضرب $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$

خطوة 6

بما أن الدالة $e^{\frac{1}{18} x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $\frac{1}{18}$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $\frac{1}{18}$ المحذوف.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{18} x}$

خطوة 6.2

بما أن الأُس $\frac{1}{18} x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{\frac{1}{18} x}$ تقترب من $\infty$ .

$\infty$