حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

خطوة 1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - 1}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.6

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1 + 0}$

خطوة 3.10

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2}{1}$

خطوة 4

اقسِم $2 x + 2$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x + 2$

خطوة 5

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\infty$