حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

خطوة 1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

خطوة 1.3

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.4

اضرب $\frac{1}{\ln (x)}$ في $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.6

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{1}{x}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} x$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{x \ln (x)}$ و $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\ln (x)}$ يقترب من $0$ .

$0$