حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

انقُل الأُس $2$ من $\cot^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

خطوة 1.2.1.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

خطوة 1.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 1.3.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 1.3.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3.3

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

خطوة 3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 3.8.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{0 - \cos (x)}$

خطوة 3.9

اطرح $\cos (x)$ من $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{- \cos (x)}$

خطوة 4

انقُل الحد $- 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \cot (x)}{- \cos (x)}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.2

انقُل الأُس $2$ من $\csc^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- 2 \frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة قاطع التمام متصلة.

$- 2 \frac{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.4

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$- 2 \frac{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.6.1

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 \frac{1^{2} \cdot \cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.6.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 2 \frac{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.6.3

اضرب $\cot (\frac{π}{2})$ في $1$ .

$- 2 \frac{\cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.2.6.4

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 \frac{0}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

خطوة 5.1.3.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- 2 \frac{0}{- \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

خطوة 5.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2})}$

خطوة 5.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- 2 \frac{0}{- 0}$

خطوة 5.1.3.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 (\frac{0}{0})$

خطوة 5.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- 2 (\frac{0}{0})$

خطوة 5.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- 2 (\frac{0}{0})$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- 2 (\frac{0}{0})$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \cot (x)}{- \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \csc^{2} (x)$ و $g (x) = \cot (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.3

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \cdot - 1 \csc^{2} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.4

اضرب $\csc^{2} (x)$ في $\csc^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

انقُل $\csc^{2} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{{\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.4.3

أضف $2$ و $2$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $\csc^{4} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.6

أعِد كتابة $- 1 \csc^{4} (x)$ بالصيغة $- \csc^{4} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\csc (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\csc (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \cdot 2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.8

انقُل $2$ إلى يسار $\cot (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.9

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) \cdot - 1 \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.10

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.11

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.12

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.14

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.15

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{1} (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.16

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.18

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.19

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

خطوة 5.3.20

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{- \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

خطوة 5.3.21

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{- - 1 \sin (x)}$

خطوة 5.3.22

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{1 \sin (x)}$

خطوة 5.3.23

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{\sin (x)}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 2 \frac{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.5

انقُل الأُس $2$ من $\cot^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- 2 \frac{- 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.6

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.7

انقُل الأُس $2$ من $\csc^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.8

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة قاطع التمام متصلة.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.9

انقُل الأُس $4$ من $\csc^{4} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{4}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة قاطع التمام متصلة.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

خطوة 6.11

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

خطوة 7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

خطوة 7.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

خطوة 7.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- 2 \frac{- 2 \cdot 0^{2} \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 2 \frac{- 2 \cdot 0 \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$- 2 \frac{0 \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 \frac{0 \cdot 1^{2} - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 2 \frac{0 \cdot 1 - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.6

اضرب $0$ في $1$ .

$- 2 \frac{0 - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 \frac{0 - 1^{4}}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 2 \frac{0 - 1 \cdot 1}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 \frac{0 - 1}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.1.10

اطرح $1$ من $0$ .

$- 2 \frac{- 1}{\sin (\frac{π}{2})}$

خطوة 8.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 (\frac{- 1}{1})$

خطوة 8.3

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

خطوة 8.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2$