حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

خطوة 1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

خطوة 1.2.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

خطوة 1.2.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

خطوة 1.2.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

خطوة 1.2.4.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة حد $\arctan (x)$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (x) - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

خطوة 3.6

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{1 + x^{2}}}$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{x^{2} + 1}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} (- 1 + \sec^{2} (x)) (x^{2} + 1)$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

خطوة 6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$(- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

خطوة 7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$(- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

خطوة 8

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$(- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

خطوة 9

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

خطوة 10

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

خطوة 11

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

خطوة 12

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

خطوة 13

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot (0^{2} + 1)$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد ترتيب $- 1$ و $\sec^{2} (0)$ .

$(\sec^{2} (0) - 1) \cdot (0^{2} + 1)$

خطوة 14.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\tan^{2} (0) \cdot (0^{2} + 1)$

خطوة 14.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$0^{2} \cdot (0^{2} + 1)$

خطوة 14.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 \cdot (0^{2} + 1)$

خطوة 14.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 \cdot (0 + 1)$

خطوة 14.6

أضف $0$ و $1$ .

$0 \cdot 1$

خطوة 14.7

اضرب $0$ في $1$ .

$0$