حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{99}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{99}}$

خطوة 1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{99}}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{99}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{99}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{99}]}$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{99}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 99$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{99 x^{98}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{99 x^{98}}$

خطوة 5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{99 x^{98}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (99 x^{98})}$

خطوة 5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{99 (x^{1} x^{98})}$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{99 x^{1 + 98}}$

خطوة 5.4

أضف $1$ و $98$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{99 x^{99}}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{1}{99}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{99} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{99}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{99}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{99} \cdot 0$

خطوة 8

اضرب $\frac{1}{99}$ في $0$ .

$0$