حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{2 x} + x^{2}}{e^{x} + 4 x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{2 x} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4 x}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{2 x} + lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4 x}$

خطوة 1.2.2

بما أن الأُس $2 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{2 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4 x}$

خطوة 1.2.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4 x}$

خطوة 1.2.4

ما لا نهاية زائد ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4 x}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 x}$

خطوة 1.3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4 x}$

خطوة 1.3.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

خطوة 1.3.4

ما لا نهاية زائد ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{2 x} + x^{2}}{e^{x} + 4 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{2 x} + 2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4 x]}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [4 x]}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{e^{x} + 4 \cdot 1}$

خطوة 3.8.3

اضرب $4$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{e^{x} + 4}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x + 2 e^{2 x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x + lim_{x \to \infty} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

خطوة 4.1.2.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

خطوة 4.1.2.2

بما أن الدالة $e^{2 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $2$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $2$ المحذوف.

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} e^{2 x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

خطوة 4.1.2.2.2

بما أن الأُس $2 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{2 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

خطوة 4.1.2.3

ما لا نهاية زائد ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4}$

خطوة 4.1.3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4}$

خطوة 4.1.3.3

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 4}$

خطوة 4.1.3.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 e^{2 x}}{e^{x} + 4} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 2 e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 2 e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 2 e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.5

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 (e^{2 x} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2 (2 \cdot e^{2 x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.4.7

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + 4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{2 x} + 2}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

خطوة 4.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{2 x} + 2}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]}$

خطوة 4.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{2 x} + 2}{e^{x} + \frac{d}{d x} [4]}$

خطوة 4.3.8

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{2 x} + 2}{e^{x} + 0}$

خطوة 4.3.9

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{2 x} + 2}{e^{x}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 e^{2 x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 5.1.2.2

بما أن الدالة $e^{2 x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $4$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $4$ المحذوف.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{2 x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 5.1.2.2.2

بما أن الأُس $2 x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{2 x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 5.1.2.3

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 5.1.2.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 5.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{2 x} + 2}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 e^{2 x} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.3.7

اضرب $2$ في $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.5

أضف $8 e^{2 x}$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{2 x}}{e^{x}}$

خطوة 5.4

احذِف العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ و $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $8 e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} (8 e^{x})}{e^{x}}$

خطوة 5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اضرب في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} (8 e^{x})}{e^{x} \cdot 1}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} (8 e^{x})}{e^{x} \cdot 1}$

خطوة 5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{x}}{1}$

خطوة 5.4.2.4

اقسِم $8 e^{x}$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} 8 e^{x}$

خطوة 6

بما أن الدالة $e^{x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $8$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $8$ المحذوف.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

خطوة 6.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\infty$