حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.5

احسِب قيمة حد $\frac{π}{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.6

احسِب قيمة حد $0$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + 0) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.7.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1.1

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.7.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.2.7.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (\frac{π}{2} - h) - 0$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = \cos (h)$ و $g (h) = \frac{π}{2} - h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π}{2} - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π}{2} - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{π}{2} - h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.3

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $\frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $- h$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.7

اطرح $1$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1 \sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.3.9

اضرب $\sin (\frac{π}{2} - h)$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [- 0]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.4.2

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.5

أضف $\sin (\frac{π}{2} - h)$ و $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{1}$

خطوة 4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لكتابة $- h$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h \cdot \frac{2}{2})}{1}$

خطوة 4.2

اجمع $- h$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} + \frac{- h \cdot 2}{2})}{1}$

خطوة 4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})}{1}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم $\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$ على $1$ .

$lim_{h \to 0} \sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\sin (lim_{h \to 0} \frac{π - h \cdot 2}{2})$

خطوة 5.3

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π - h \cdot 2)$

خطوة 5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $π$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

خطوة 5.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{h \to 0} h)))$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 \cdot 0)))$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- (2 \cdot 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - 0))$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

خطوة 7.2

أضف $π$ و $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} π)$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

خطوة 7.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$1$