حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + x^{2}}{e^{x} - x}$

خطوة 1

اقسِم البسط والقاسم على أكبر حد في القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{x^{2}}{e^{x}}}{\frac{e^{x}}{e^{x}} - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{x^{2}}{e^{x}}}{\frac{e^{x}}{e^{x}} - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x^{2}}{e^{x}}}{\frac{e^{x}}{e^{x}} - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x^{2}}{e^{x}}}{\frac{e^{x}}{e^{x}} - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x^{2}}{e^{x}}}{1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{x^{2}}{e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 2.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1 + \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 3.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 3.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1 + 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 5.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 5.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{x}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}}$

خطوة 8

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

خطوة 8.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

خطوة 8.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 8.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 8.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

خطوة 8.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{x}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - 0}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 0}$

خطوة 10.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

خطوة 10.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{1}$

خطوة 10.3

اقسِم $1$ على $1$ .

$1$