حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{5 \tan (3 x)}{2 x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.2.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{5 \tan (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.2.1.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 \tan (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{5 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \tan (3 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \tan (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.4

احذِف الأقواس.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.6

اضرب $3$ في $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.8

اضرب $15$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.11

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $\frac{15}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{15}{2} lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)$

خطوة 4.2

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (3 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{15}{2} {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}$

خطوة 4.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\frac{15}{2} \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)$

خطوة 4.4

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{15}{2} \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{15}{2} \sec^{2} (3 \cdot 0)$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{15}{2} \sec^{2} (0)$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\frac{15}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 6.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{15}{2} \cdot 1$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{15}{2}$ في $1$ .

$\frac{15}{2}$