حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ في صورة ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = 2 - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.2.10.2

اطرح $3$ من $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.2.12

اضرب $3$ في $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

خطوة 1.1.2.13

اطرح $3 x^{2}$ من $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

خطوة 1.1.2.14

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

خطوة 1.1.2.15

اجمع $- 3$ و $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

خطوة 1.1.2.16

اجمع $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ و $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

خطوة 1.1.2.17

انقُل ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.2.18

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.2.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.19.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 1.1.2.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.2.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.2.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

خطوة 2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = 1$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

خطوة 3.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ في صورة ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

خطوة 3.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $2 - x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x^{3} = - 2$

خطوة 3.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{3} = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{3} = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.2.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x^{3} = 2$

خطوة 3.3.3.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

خطوة 4.1.2.1.3

اطرح $1$ من $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

خطوة 4.1.2.1.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$1 + 1$

خطوة 4.1.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$2$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \sqrt[3]{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt[3]{2}$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 4.2.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 4.2.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 4.2.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 4.2.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

خطوة 4.2.2.1.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

خطوة 4.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

خطوة 4.2.2.1.3

اطرح $2$ من $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

خطوة 4.2.2.1.4

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 4.2.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\sqrt[3]{2} + 0$

خطوة 4.2.2.2

أضف $\sqrt[3]{2}$ و $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

خطوة 5