حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{5}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{5}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

خطوة 1.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $5$ في $2$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} (5 x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 1.1.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 1.1.5.2.2

اجمع $3$ و $\frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{3 (x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (x^{5} e^{x}) + 3 (- 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 x^{4} e^{x}}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.4

أخرِج العامل $3 e^{x} x^{4}$ من $3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

أخرِج العامل $3 e^{x} x^{4}$ من $3 e^{x} x^{5}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.4.2

أخرِج العامل $3 e^{x} x^{4}$ من $- 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.4.3

أخرِج العامل $3 e^{x} x^{4}$ من $3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x - 5)}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.5.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $3 e^{x} x^{4} (x - 5)$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{10}}$

خطوة 1.1.6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.5.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 1.1.6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 1.1.6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 e^{x} (x - 5) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.3.2.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.3.2.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 e^{x} (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 5$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{6} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt[6]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{{(5)}^{5}}$

خطوة 4.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{3125}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{{(0)}^{5}}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{3 e^{0}}{0}$

خطوة 4.2.2.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(5, \frac{3 e^{5}}{3125})$

خطوة 5