حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = | x |$ و $g (x) = x^{2} - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $| u |$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

خطوة 1.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

خطوة 1.1.2.4.2

اجمع $2$ و $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

خطوة 1.1.2.4.3

اجمع $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ و $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.1.3.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.1.3.3.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.1.3.3.2

اضرب $2$ في $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3} - 32 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

خطوة 2.3.1.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

خطوة 2.3.1.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

خطوة 2.3.1.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

خطوة 2.3.1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

خطوة 2.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.4

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 2.3.4.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 2.3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.3.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 4, 4$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| x^{2} - 16 | = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

خطوة 3.2.2

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

خطوة 3.2.3

أضف $16$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 16$

خطوة 3.2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{16}$

خطوة 3.2.5

بسّط $\pm \sqrt{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

خطوة 3.2.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 4$

خطوة 3.2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 4$

خطوة 3.2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 4$

خطوة 3.2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4, - 4$

خطوة 3.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 4, x = 4$

خطوة 4

احسِب قيمة $| x^{2} - 16 |$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$| {(0)}^{2} - 16 |$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| 0 - 16 |$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$| - 16 |$

خطوة 4.1.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 16$ و $0$ تساوي $16$ .

$16$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| 16 - 16 |$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $16$ من $16$ .

$| 0 |$

خطوة 4.2.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$0$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$| {(4)}^{2} - 16 |$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$| 16 - 16 |$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $16$ من $16$ .

$| 0 |$

خطوة 4.3.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$0$

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

خطوة 5