حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = - 9 x^{2} + 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 9 x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 9 x^{2} + 25$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 9 x^{2} + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $2$ في $- 9$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + 0)$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $- 18 x$ و $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x)$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $- 18$ في $2$ .

$- 36 (- 9 x^{2} + 25) x$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 36 (- 9 x^{2}) - 36 \cdot 25) x$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 36 (- 9 x^{2}) x - 36 \cdot 25 x$

خطوة 1.1.3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $- 9$ في $- 36$ .

$324 x^{2} x - 36 \cdot 25 x$

خطوة 1.1.3.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$324 (x^{1} x^{2}) - 36 \cdot 25 x$

خطوة 1.1.3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$324 x^{1 + 2} - 36 \cdot 25 x$

خطوة 1.1.3.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$324 x^{3} - 36 \cdot 25 x$

خطوة 1.1.3.3.5

اضرب $- 36$ في $25$ .

$f' (x) = 324 x^{3} - 900 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $324 x^{3} - 900 x$ .

$324 x^{3} - 900 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $324 x^{3} - 900 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$324 x^{3} - 900 x = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $36 x$ من $324 x^{3} - 900 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $36 x$ من $324 x^{3}$ .

$36 x (9 x^{2}) - 900 x = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $36 x$ من $- 900 x$ .

$36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25) = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $36 x$ من $36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25)$ .

$36 x (9 x^{2} - 25) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 25) = 0$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

خطوة 2.2.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 x$ و $b = 5$ .

$36 x ((3 x + 5) (3 x - 5)) = 0$

خطوة 2.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $3 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $3 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 5 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 5$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 5$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{5}{3}$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $3 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $3 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 5 = 0$

خطوة 2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 5$

خطوة 2.6.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 2.6.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة ${(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(- 9 {(0)}^{2} + 25)}^{2}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(- 9 \cdot 0 + 25)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 9$ في $0$ .

${(0 + 25)}^{2}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $25$ .

$25^{2}$

خطوة 4.1.2.2.2

ارفع $25$ إلى القوة $2$ .

$625$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - \frac{5}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{5}{3}$ .

${(- 9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

${(- 9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.3

اضرب $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.4

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.6.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.1.7

اضرب $- 1$ في $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

أضف $- 25$ و $25$ .

$0^{2}$

خطوة 4.2.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{5}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $- 1$ في $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أضف $- 25$ و $25$ .

$0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 625), (- \frac{5}{3}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

خطوة 5