حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{t}{t^{2} + 15}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = t^{2} + 15$ .

$\frac{(t^{2} + 15) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 15]}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 15) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 15]}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $t^{2} + 15$ في $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 15]}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 15$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [15])}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (2 t + \frac{d}{d t} [15])}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{t^{2} + 15 - t (2 t)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t^{2} + 15 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{t^{2} + 15 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.7

اطرح $2 t^{2}$ من $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2}) + 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.2

أعِد كتابة $15$ بالصيغة $- 1 (- 15)$ .

$\frac{- (t^{2}) - 1 (- 15)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{2}) - 1 (- 15)$ .

$\frac{- (t^{2} - 15)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.4

أعِد كتابة $- (t^{2} - 15)$ بالصيغة $- 1 (t^{2} - 15)$ .

$\frac{- 1 (t^{2} - 15)}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (t) = - \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$ .

$- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{t^{2} - 15}{{(t^{2} + 15)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$t^{2} - 15 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $15$ إلى كلا المتعادلين.

$t^{2} = 15$

خطوة 2.3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$t = \pm \sqrt{15}$

خطوة 2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$t = \sqrt{15}$

خطوة 2.3.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$t = - \sqrt{15}$

خطوة 2.3.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$t = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{t}{t^{2} + 15}$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $t = \sqrt{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $\sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 15}$

خطوة 4.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15}$

خطوة 4.1.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15}$

خطوة 4.1.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

خطوة 4.1.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

خطوة 4.1.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{15}}{15^{1} + 15}$

خطوة 4.1.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{15}}{15 + 15}$

خطوة 4.1.2.2

أضف $15$ و $15$ .

$\frac{\sqrt{15}}{30}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $t = - \sqrt{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $- \sqrt{15}$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 15}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{15}$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.3

اضرب ${\sqrt{15}}^{2}$ في $1$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{15}}{15^{1} + 15}$

خطوة 4.2.2.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{- \sqrt{15}}{15 + 15}$

خطوة 4.2.2.1.5

أضف $15$ و $15$ .

$\frac{- \sqrt{15}}{30}$

خطوة 4.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\sqrt{15}}{30}$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\sqrt{15}, \frac{\sqrt{15}}{30}), (- \sqrt{15}, - \frac{\sqrt{15}}{30})$

خطوة 5