حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $\sec (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

اجمع $\frac{π}{4}$ و $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2.2.2

اجمع $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ و $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $\sec (\frac{π x}{4})$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $\sec (\frac{π x}{4})$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

خطوة 2.3.2.2

مدى القاطع هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $\tan (\frac{π x}{4})$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $\tan (\frac{π x}{4})$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

خطوة 2.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

خطوة 2.3.3.2.3

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$π x = 0$

خطوة 2.3.3.2.4

اقسِم كل حد في $π x = 0$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.4.1

اقسِم كل حد في $π x = 0$ على $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

خطوة 2.3.3.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

خطوة 2.3.3.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

خطوة 2.3.3.2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.4.3.1

اقسِم $0$ على $π$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3.2.5

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

خطوة 2.3.3.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

خطوة 2.3.3.2.6.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

خطوة 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

خطوة 2.3.3.2.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.2.1

بسّط $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.2.1.1

أضف $π$ و $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

خطوة 2.3.3.2.6.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{4}{π} π$

خطوة 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 4$

خطوة 2.3.3.2.7

أوجِد فترة $\tan (\frac{π x}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.3.3.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{π}{4}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

خطوة 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ تساوي تقريبًا $0.78539816$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

خطوة 2.3.3.2.7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$π \frac{4}{π}$

خطوة 2.3.3.2.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$π \frac{4}{π}$

خطوة 2.3.3.2.7.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$4$

خطوة 2.3.3.2.8

فترة دالة $\tan (\frac{π x}{4})$ هي $4$ ، لذا تتكرر القيم كل $4$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ صحيحة.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.4

وحّد الإجابات.

$x = 4 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\sec (\frac{π x}{4})$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

خطوة 3.2.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

خطوة 3.2.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

بسّط $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

خطوة 3.2.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

خطوة 3.2.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

خطوة 3.2.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

خطوة 3.2.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

خطوة 3.2.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

خطوة 3.2.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.4.1

أخرِج العامل $π$ من $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

خطوة 3.2.2.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

خطوة 3.2.2.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 + 4 n$

خطوة 3.2.3

أعِد ترتيب $2$ و $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

خطوة 3.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sec (\frac{π x}{4})$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

خطوة 4.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

خطوة 4.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

خطوة 4.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

خطوة 4.1.2.1.2.4

اقسِم $π \cdot (0)$ على $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $π$ في $0$ .

$\sec (0)$

خطوة 4.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$1$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

خطوة 4.2.2.1.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$\sec (π)$

خطوة 4.2.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن القاطع سالب في الربع الثاني.

$- \sec (0)$

خطوة 4.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.2.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5