حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

خطوة 1.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 1.1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 1.1.4.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 1.1.4.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

خطوة 1.1.5.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

خطوة 1.1.5.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

خطوة 2.2

انقُل $- \frac{e^{- x}}{4}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافتها إلى كلا الطرفين.

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

خطوة 2.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$e^{x} = e^{- x}$

خطوة 2.4

بما أن العددين متساويان في الأساس، إذن تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$x = - x$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$x + x = 0$

خطوة 2.5.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$2 x = 0$

خطوة 2.5.2

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

خطوة 4.1.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

خطوة 4.1.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2}{4}$

خطوة 4.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

خطوة 4.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(0, \frac{1}{2})$

خطوة 5