حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} \ln (x^{2}) + 3$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} \ln (x^{2}) + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.6

اجمع $\frac{2}{x^{2}}$ و $x$ .

$x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.8

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.9

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.10.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.10.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.10.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.2.10.2.5

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + 0$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أضف $2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$ و $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x \ln (x^{2}) + 2 x$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$

خطوة 2.2

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ على $2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم $\ln (x^{2})$ على $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 2 x}{2 x}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 (x)}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

خطوة 2.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

خطوة 2.3.3.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\ln (x^{2}) = - 1$

خطوة 2.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\ln (x^{2}) = - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x^{2}$

خطوة 2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} = e^{- 1}$ .

$x^{2} = e^{- 1}$

خطوة 2.6.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

خطوة 2.6.3

بسّط $\pm \sqrt{e^{- 1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

خطوة 2.6.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{e}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

خطوة 2.6.3.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

خطوة 2.6.3.4

اضرب $\frac{1}{\sqrt{e}}$ في $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

خطوة 2.6.3.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.5.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{e}}$ في $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

خطوة 2.6.3.5.2

ارفع $\sqrt{e}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

خطوة 2.6.3.5.3

ارفع $\sqrt{e}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

خطوة 2.6.3.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.6.3.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

خطوة 2.6.3.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{e}}^{2}$ بالصيغة $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e}$ في صورة $e^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.6.3.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.6.3.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.6.3.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.6.3.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

خطوة 2.6.3.5.6.5

بسّط.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

خطوة 2.6.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

خطوة 2.6.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

خطوة 2.6.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ .

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x^{2})$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} \leq 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

خطوة 4.2.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{0}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

بسّط $\sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq | 0 |$

خطوة 4.2.2.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$| x | \leq 0$

خطوة 4.2.3

اكتب $| x | \leq 0$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 4.2.3.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq 0$

خطوة 4.2.3.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 4.2.3.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq 0$

خطوة 4.2.3.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

خطوة 4.2.4

أوجِد التقاطع بين $x \leq 0$ و $x \geq 0$ .

$x = 0$

خطوة 4.2.5

أوجِد حل $- x \leq 0$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 0$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.2.5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.2.5.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.2.5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$x \geq 0$

خطوة 4.2.5.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq 0$ و $x < 0$ .

لا يوجد حل

خطوة 4.2.6

أوجِد اتحاد الحلول.

$x = 0$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.60653067$ في العبارة.

$f' (- 1.60653067) = 2 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $2$ في $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1.60653067$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (- 1.60653067)$

خطوة 6.2.1.3

بسّط $- 3.21306134 \ln (2.58094079)$ بنقل $3.21306134$ داخل اللوغاريتم.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (- 1.60653067)$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $2.58094079$ إلى القوة $3.21306134$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) + 2 (- 1.60653067)$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $2$ في $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) - 3.21306134$

خطوة 6.2.2

اطرح $3.21306134$ من $- \ln (21.04108386)$ .

$f' (- 1.60653067) = - 6.25953824$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6.25953824$ .

$- 6.25953824$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1.60653067$ هو $- 6.25953824$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.60653067, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.30326533$ في العبارة.

$f' (- 0.30326533) = 2 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $2$ في $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 0.30326533$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (- 0.30326533)$

خطوة 7.2.1.3

بسّط $- 0.60653067 \ln (0.09196986)$ بنقل $0.60653067$ داخل اللوغاريتم.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (- 0.30326533)$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $0.09196986$ إلى القوة $0.60653067$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) + 2 (- 0.30326533)$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $2$ في $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) - 0.60653067$

خطوة 7.2.2

اطرح $0.60653067$ من $- \ln (0.2351902)$ .

$f' (- 0.30326533) = 0.84083002$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.84083002$ .

$0.84083002$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 0.30326533$ هو $0.84083002$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 0.60653067, 0)$ .

تزايد خلال $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.30326533$ في العبارة.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $2$ في $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $0.30326533$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (0.30326533)$

خطوة 8.2.1.3

بسّط $0.60653067 \ln (0.09196986)$ بنقل $0.60653067$ داخل اللوغاريتم.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (0.30326533)$

خطوة 8.2.1.4

ارفع $0.09196986$ إلى القوة $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 2 (0.30326533)$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $2$ في $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 0.60653067$

خطوة 8.2.2

أضف $\ln (0.2351902)$ و $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = - 0.84083002$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.84083002$ .

$- 0.84083002$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 0.30326533$ هو $- 0.84083002$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

تناقص خلال $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.60653067$ في العبارة.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $2$ في $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

خطوة 9.2.1.2

ارفع $1.60653067$ إلى القوة $2$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (1.60653067)$

خطوة 9.2.1.3

بسّط $3.21306134 \ln (2.58094079)$ بنقل $3.21306134$ داخل اللوغاريتم.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (1.60653067)$

خطوة 9.2.1.4

ارفع $2.58094079$ إلى القوة $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 2 (1.60653067)$

خطوة 9.2.1.5

اضرب $2$ في $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 3.21306134$

خطوة 9.2.2

أضف $\ln (21.04108386)$ و $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = 6.25953824$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $6.25953824$ .

$6.25953824$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 1.60653067$ هو $6.25953824$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

خطوة 11