حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(3 x - 7)}^{2}$ بالصيغة $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x - 7) (3 x - 7)]$

خطوة 1.1.2

وسّع $(3 x - 7) (3 x - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)]$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)]$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

خطوة 1.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

خطوة 1.1.3.1.4

اضرب $- 7$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $3$ في $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7]$

خطوة 1.1.3.1.6

اضرب $- 7$ في $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49]$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $21 x$ من $- 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 42 x + 49]$

خطوة 1.1.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 42 x + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 1.1.5

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 1.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 1.1.7

اضرب $2$ في $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 1.1.8

بما أن $- 42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 42 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 1.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$18 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 1.1.10

اضرب $- 42$ في $1$ .

$18 x - 42 + \frac{d}{d x} [49]$

خطوة 1.1.11

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$18 x - 42 + 0$

خطوة 1.1.12

أضف $18 x - 42$ و $0$ .

$f' (x) = 18 x - 42$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $18 x - 42$ .

$18 x - 42$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $18 x - 42 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$18 x - 42 = 0$

خطوة 2.2

أضف $42$ إلى كلا المتعادلين.

$18 x = 42$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $18 x = 42$ على $18$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $18 x = 42$ على $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{42}{18}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $42$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $42$ .

$x = \frac{6 (7)}{18}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{7}{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 18 x - 42$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$ هو $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{7}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4}{3}$ في العبارة.

$f' (\frac{4}{3}) = 18 (\frac{4}{3}) - 42$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (6) (\frac{4}{3}) - 42$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{4}{3})) - 42$

خطوة 5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{4}{3}) = 6 \cdot 4 - 42$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $6$ في $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 24 - 42$

خطوة 5.2.2

اطرح $42$ من $24$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 18$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 18$ .

$- 18$

خطوة 5.3

المشتق في $x = \frac{4}{3}$ هو $- 18$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{7}{3})$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{7}{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{7}{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{10}{3}$ في العبارة.

$f' (\frac{10}{3}) = 18 (\frac{10}{3}) - 42$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (6) (\frac{10}{3}) - 42$

خطوة 6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{10}{3})) - 42$

خطوة 6.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{10}{3}) = 6 \cdot 10 - 42$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $6$ في $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 60 - 42$

خطوة 6.2.2

اطرح $42$ من $60$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 18$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $18$ .

$18$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{10}{3}$ هو $18$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{7}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(\frac{7}{3}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{7}{3})$

خطوة 8