حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{- x} \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{- x}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 1.1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

خطوة 1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

خطوة 1.1.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

خطوة 1.1.5.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

خطوة 1.1.5.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

خطوة 1.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

خطوة 1.1.6.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

خطوة 1.1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

حلّل $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $2 e^{- x}$ من $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2 e^{- x}$ من $- 2 e^{- x} \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $2 e^{- x}$ من $- 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $2 e^{- x}$ من $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $- 1 \cos (x)$ بالصيغة $- \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $- \sin (x) - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $- \sin (x) - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.2

افصِل الكسور.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.5.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.6

افصِل الكسور.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 2.5.2.8

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 2.5.2.9

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

خطوة 2.5.2.10

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = 1$

خطوة 2.5.2.11

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.11.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.11.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.11.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.11.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

خطوة 2.5.2.12

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 2.5.2.13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.13.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.14

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 2.5.2.15

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.15.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 2.5.2.15.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.5.2.16

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.16.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.5.2.16.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.2.16.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.5.2.16.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.5.2.17

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.17.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 2.5.2.17.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.17.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.17.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.17.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 2.5.2.17.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.17.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 2.5.2.17.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 2.5.2.17.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.5.2.18

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\frac{3 π}{4} + π n$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ هو $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

خطوة 5.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

خطوة 5.3

المشتق في $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ هو $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

خطوة 6.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ هو $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

خطوة 8