حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 2}$ بالصيغة ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 2$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 2$ .

$- (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4.2

اضرب ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ في $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4.6.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot 0$

خطوة 1.1.4.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1

اضرب $\frac{1}{x^{2} + 2}$ في $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + 0$

خطوة 1.1.4.8.2

أضف $2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$ و $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

خطوة 1.1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

خطوة 1.1.5.2.2

اجمع $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(1 + 2)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{3^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{9}$

خطوة 5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{2}{9}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{2}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{2}{{(1 + 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{3^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{9}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 1$ هو $\frac{2}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0)$

خطوة 8