حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$ , $y = \cos (\frac{1}{2} t)$

خطوة 1

عيّن المعادلة الوسطية لـ $x (t)$ لإيجاد قيمة $t$ في المعادلة.

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sin (\frac{1}{2} t) = x$ .

$\sin (\frac{1}{2} t) = x$

خطوة 3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل الجيب.

$\frac{1}{2} t = \arcsin (x)$

خطوة 4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t$ .

$\frac{t}{2} = \arcsin (x)$

خطوة 5

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$t = 2 \arcsin (x)$

خطوة 7

استبدِل $t$ في المعادلة بـ $y$ للحصول على المعادلة من حيث $x$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

خطوة 8

احذِف الأقواس.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

خطوة 9

بسّط $\cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \arcsin (x)$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (x))))$

خطوة 9.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

خطوة 9.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \cos (\arcsin (x))$

خطوة 9.1.2

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ و $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . إذن، $\cos (\arcsin (x))$ تساوي $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

خطوة 9.1.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

خطوة 9.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$