حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (θ) = 9 \sin (10 \cos (θ))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $9 \sin (10 \cos (θ))$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \sin (θ)$ و $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $10 \cos (θ)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$9 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $10 \cos (θ)$ .

$9 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $10 \cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$9 \cos (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 1.3.2

اضرب $10$ في $9$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

خطوة 1.4

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))$

خطوة 1.5

اضرب $- 1$ في $90$ .

$f' (θ) = - 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 90$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $- 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$ .

$- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = \cos (10 \cos (θ))$ و $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \cos (θ)$ و $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

خطوة 2.4.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $10 \cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])))$

خطوة 2.5.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

خطوة 2.6

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))))$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin (θ)))$

خطوة 2.8

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

خطوة 2.9

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

خطوة 2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) {\sin (θ)}^{1 + 1})$

خطوة 2.11

أضف $1$ و $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ)) - 90 (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

خطوة 2.12.2

اضرب $10$ في $- 90$ .

$- 90 \cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) - 900 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ)$

خطوة 2.12.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (θ) = - 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$ .

$- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$