حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos^{2} (θ)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{2}$ و $g (θ) = \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (θ)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (θ)$ .

$2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

خطوة 1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = \cos (θ)$ و $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.4

ارفع $\cos (θ)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.5

ارفع $\cos (θ)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

خطوة 2.8

مشتق $\cos (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ)))$

خطوة 2.9

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

خطوة 2.10

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ))$

خطوة 2.13.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ)$