حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{36} \cot (6 x + 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{36}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{36} \cdot \cot (6 x + 5)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$ .

$\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = 6 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cot (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{1}{36}$ و $\csc^{2} (6 x + 5)$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.3.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.3.5

اضرب $6$ في $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 1.3.6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + 0)$

خطوة 1.3.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أضف $6$ و $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \cdot 6$

خطوة 1.3.7.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

خطوة 1.3.7.3

اجمع $- 6$ و $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$ .

$\frac{- 6 \csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

خطوة 1.3.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.4.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6 \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{36}$

خطوة 1.3.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.4.2.1

أخرِج العامل $6$ من $36$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 (6)}$

خطوة 1.3.7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 \cdot 6}$

خطوة 1.3.7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

خطوة 1.3.7.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- \frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \csc (6 x + 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{6} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (2 \csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

خطوة 2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

خطوة 2.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

خطوة 2.3.3

اجمع $\csc (6 x + 5)$ و $\frac{- 2}{6}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \cdot - 2}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

خطوة 2.3.4

انقُل $- 2$ إلى يسار $\csc (6 x + 5)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (6 x + 5)}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

خطوة 2.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \csc (6 x + 5)$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 (3)} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

خطوة 2.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

خطوة 2.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 6 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.4.2

مشتق $\csc (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.5.2

اضرب $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ في $1$ .

$\frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.5.3

اجمع $\csc (6 x + 5)$ و $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.6

ارفع $\csc (6 x + 5)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.7

ارفع $\csc (6 x + 5)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc^{1} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{\csc (6 x + 5)}^{1 + 1}}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

خطوة 2.9.2

اجمع $\cot (6 x + 5)$ و $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

خطوة 2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 2.11

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 2.13

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 2.14

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + 0)$

خطوة 2.15

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

أضف $6$ و $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \cdot 6$

خطوة 2.15.2

اجمع $\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ و $6$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5) \cdot 6}{3}$

خطوة 2.15.3

انقُل $6$ إلى يسار $\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 \cdot (\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

خطوة 2.15.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

خطوة 2.15.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 (1)}$

خطوة 2.15.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 \cdot 1}$

خطوة 2.15.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{1}$

خطوة 2.15.4.2.4

اقسِم $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ على $1$ .

$2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$

خطوة 2.15.5

أعِد ترتيب عوامل $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (6 x + 5) \cot (6 x + 5)$