حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = \sec (θ)$ و $g (θ) = \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 1.2

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 1.3

اضرب $\sec (θ)$ في $\sec^{2} (θ)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\sec (θ)$ في $\sec^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\sec (θ)}^{1 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 1.4

مشتق $\sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 1.5

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ)$

خطوة 1.6

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ)$

خطوة 1.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec^{3} (θ) + {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ)$

خطوة 1.8

أضف $1$ و $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{2} (θ) \sec (θ)$

خطوة 1.9

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (θ) = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = \tan^{2} (θ)$ و $g (θ) = \sec (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{2}$ و $g (θ) = \tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.4

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $\tan^{2} (θ)$ في $\tan (θ)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

انقُل $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $\tan (θ)$ في $\tan^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\tan (θ)}^{1 + 2} \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.6

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) {\sec (θ)}^{1 + 2} + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.2.8

أضف $1$ و $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = θ^{3}$ و $g (θ) = \sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sec (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

خطوة 2.3.3

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) \tan (θ)$

خطوة 2.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {\sec (θ)}^{1 + 2} \tan (θ)$

خطوة 2.3.5

أضف $1$ و $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

خطوة 2.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \tan (θ) \sec^{3} (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

خطوة 2.4.2

أضف $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ و $3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ .

$f'' (θ) = \tan^{3} (θ) \sec (θ) + 5 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$