حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x, y) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 7 x + 11 y$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 7 x + 11 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.4

بما أن $4 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.5.3

اضرب $7$ في $1$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 + \frac{d}{d x} [11 y]$

خطوة 1.6

بما أن $11 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 + 0$

خطوة 1.7

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أضف $4 x + 3 y$ و $0$ .

$4 x + 3 y + 7 + 0$

خطوة 1.7.2

أضف $4 x + 3 y + 7$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 7$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 3 y + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 2.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

خطوة 2.3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0 + 0$

خطوة 2.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $4$ و $0$ .

$4 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$f'' (x) = 4$