حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ و $g (x) = e^{x}$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} - 10 x + 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 1.3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 1.3.4

اضرب $2$ في $5$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 1.3.5

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 10$ في $1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

خطوة 1.3.8

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + 0)$

خطوة 1.3.9

أضف $10 x - 10$ و $0$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) + e^{x} \cdot - 10$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

انقُل $- 10$ إلى يسار $e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) - 10 \cdot e^{x}$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 10 x e^{x}$ و $e^{x} (10 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 x e^{x} + 10 x e^{x} - 10 e^{x}$

خطوة 1.4.3.2.2

أضف $- 10 x e^{x}$ و $10 x e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} + 0 - 10 e^{x}$

خطوة 1.4.3.3

أضف $5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x}$ و $0$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 e^{x}$

خطوة 1.4.3.4

اطرح $10 e^{x}$ من $10 e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 0$

خطوة 1.4.3.5

أضف $5 x^{2} e^{x}$ و $0$ .

$5 x^{2} e^{x}$

خطوة 1.4.4

أعِد ترتيب عوامل $5 x^{2} e^{x}$ .

$5 e^{x} x^{2}$

خطوة 1.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $5 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{2} e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x))$

خطوة 2.5.2

اضرب $2$ في $5$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$

خطوة 2.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ .

$f'' (x) = 5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}$