حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x \cos^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$x (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$x (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x) \cdot 1$

خطوة 1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $1$ .

$x (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \cos^{2} (x)$

خطوة 1.4.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 2 x \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x \cos (x) \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x \cos (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x \cos (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 (x \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.7

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.8

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 (x {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.10

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.11

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x)) + \cos (x))) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 (x \cos^{2} (x) + \sin (x) (x (- \sin (x))) + \sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 (x \cos^{2} (x)) - 2 (\sin (x) (x (- \sin (x)))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- {\sin (x)}^{1 + 1})) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) - 2 (x (- \sin^{2} (x))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.3.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) + 2 (x (\sin^{2} (x))) - 2 (\sin (x) \cos (x)) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.3.6

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 2 x \cos^{2} (x) + 2 x \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.3.7

اطرح $2 \cos (x) \sin (x)$ من $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 x \cos^{2} (x) + 2 x \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$