حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x, y) = \sin^{2} (x - 3 y)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x - 3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x - 3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x - 3 y)$ .

$2 \sin (x - 3 y) \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 3 y$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 3 y$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + 0)$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) \cdot 1$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$ .

$2 \cos (x - 3 y) \sin (x - 3 y)$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب $2 \cos (x - 3 y)$ و $\sin (x - 3 y)$ .

$\sin (x - 3 y) (2 \cos (x - 3 y))$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب $\sin (x - 3 y)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

خطوة 1.4.4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 (x - 3 y))$

خطوة 1.4.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (2 x + 2 (- 3 y))$

خطوة 1.4.6

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f' (x) = \sin (2 x - 6 y)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x - 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - 6 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 6 y$ .

$\cos (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 6 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$\cos (2 x - 6 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 6 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 + 0)$

خطوة 2.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$\cos (2 x - 6 y) \cdot 2$

خطوة 2.2.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x - 6 y)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x - 6 y)$