حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \tan (x - \frac{π}{6})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - \frac{π}{6}$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

خطوة 1.2.3

بما أن $- \frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ في $1$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sec (x - \frac{π}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 2.3

ارفع $\sec (x - \frac{π}{6})$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 2.4

ارفع $\sec (x - \frac{π}{6})$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

خطوة 2.9

بما أن $- \frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

خطوة 2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

خطوة 2.10.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ و $g (x) = \tan (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{6})] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.3.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.4

اضرب $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ في $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 ({\sec (x - \frac{π}{6})}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.4.3

أضف $2$ و $2$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}] + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.5.3

بما أن $- \frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $\sec^{4} (x - \frac{π}{6})$ في $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.6

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + \tan (x - \frac{π}{6}) (2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]))$

خطوة 3.7

انقُل $2$ إلى يسار $\tan (x - \frac{π}{6})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \cdot \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})])$

خطوة 3.8

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.8.2

مشتق $\sec (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $x - \frac{π}{6}$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.9

ارفع $\tan (x - \frac{π}{6})$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (\tan^{1} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.10

ارفع $\tan (x - \frac{π}{6})$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (\tan^{1} (x - \frac{π}{6}) \tan^{1} (x - \frac{π}{6})) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 {\tan (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.12

أضف $1$ و $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.13

ارفع $\sec (x - \frac{π}{6})$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 3.14

ارفع $\sec (x - \frac{π}{6})$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 3.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 3.16

أضف $1$ و $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

خطوة 3.17

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.18

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]))$

خطوة 3.19

بما أن $- \frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0))$

خطوة 3.20

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.20.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1)$

خطوة 3.20.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (\sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}))$

خطوة 3.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 2 (2 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6}))$

خطوة 3.21.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6}) + 4 \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

خطوة 3.21.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan^{2} (x - \frac{π}{6}) + 2 \sec^{4} (x - \frac{π}{6})$