حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2} (3 t^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2}$ و $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

خطوة 1.3.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = 9 t^{2} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

خطوة 1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 t^{2} - 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

خطوة 1.5.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $9 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

خطوة 1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])))$

خطوة 1.5.4

اضرب $2$ في $9$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + \frac{d}{d t} [- 7])))$

خطوة 1.5.5

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + 0)))$

خطوة 1.5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

أضف $18 t$ و $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t)))$

خطوة 1.5.6.2

اضرب $18$ في $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (36 (9 t^{2} - 7) t))$

خطوة 1.6

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

انقُل $t$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t \cdot t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

خطوة 1.6.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1} t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

خطوة 1.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1 + 2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

خطوة 1.6.3

أضف $1$ و $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2} - 7)))$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2}) + 36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2})) + t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $9$ في $36$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{3} (324 t^{2})) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4.3

اضرب $t^{3}$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.3.1

انقُل $t^{2}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4.3.3

أضف $2$ و $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4.4

انقُل $324$ إلى يسار $t^{5}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (324 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4.5

اضرب $324$ في $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

خطوة 1.7.4.6

اضرب $36$ في $- 7$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 252)$

خطوة 1.7.4.7

انقُل $- 252$ إلى يسار $t^{3}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (- 252 \cdot t^{3})$

خطوة 1.7.4.8

اضرب $- 252$ في $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} - 756 t^{3}$

خطوة 1.7.5

أعِد ترتيب الحدود.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t {(9 t^{2} - 7)}^{2}$

خطوة 1.7.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

أعِد كتابة ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ بالصيغة $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t ((9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7))$

خطوة 1.7.6.2

وسّع $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2} - 7) - 7 (9 t^{2} - 7))$

خطوة 1.7.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2} - 7))$

خطوة 1.7.6.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2} t^{2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3.1.2

اضرب $t^{2}$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.3.1.2.1

انقُل $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 (t^{2} t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2 + 2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3.1.3

اضرب $9$ في $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3.1.4

اضرب $- 7$ في $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3.1.5

اضرب $9$ في $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} - 7 \cdot - 7)$

خطوة 1.7.6.3.1.6

اضرب $- 7$ في $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} + 49)$

خطوة 1.7.6.3.2

اطرح $63 t^{2}$ من $- 63 t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 126 t^{2} + 49)$

خطوة 1.7.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4}) + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

خطوة 1.7.6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

خطوة 1.7.6.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 49$

خطوة 1.7.6.5.3

اضرب $49$ في $6$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.6.1

اضرب $t$ في $t^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.6.1.1

انقُل $t^{4}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.1.2

اضرب $t^{4}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.6.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.1.3

أضف $4$ و $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.2

اضرب $6$ في $81$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.3

اضرب $t$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.6.3.1

انقُل $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t) + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.3.2

اضرب $t^{2}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.6.3.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t^{1}) + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{2 + 1} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{3} + 294 t$

خطوة 1.7.6.6.4

اضرب $6$ في $- 126$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} - 756 t^{3} + 294 t$

خطوة 1.7.7

أضف $972 t^{5}$ و $486 t^{5}$ .

$1458 t^{5} - 756 t^{3} - 756 t^{3} + 294 t$

خطوة 1.7.8

اطرح $756 t^{3}$ من $- 756 t^{3}$ .

$f' (t) = 1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $1458$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $1458 t^{5}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $1458 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$1458 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$1458 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

خطوة 2.2.3

اضرب $5$ في $1458$ .

$7290 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1512$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 1512 t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$7290 t^{4} - 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$7290 t^{4} - 1512 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [294 t]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 1512$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + \frac{d}{d t} [294 t]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [294 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $294$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $294 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $294 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $294$ في $1$ .

$f'' (t) = 7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $g (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$