حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(x + 4)}^{2}$ بالصيغة $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

خطوة 1.2

وسّع $(x + 4) (x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

خطوة 1.3.2

أضف $4 x$ و $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

خطوة 1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 8 x + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6.5

اضرب $8$ في $1$ .

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6.6

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6.7

أضف $2 x + 8$ و $0$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.6.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

خطوة 1.6.9

اضرب $x^{2} + 8 x + 16$ في $1$ .

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.5

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.6

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.7

اضرب $8$ في $3$ .

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.8

أضف $6 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.9

اضرب $8$ في $3$ .

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.10

أضف $24 x$ و $24 x$ .

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

خطوة 1.7.3.11

اضرب $3$ في $16$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} + 48 x + 48$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $48 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

خطوة 2.3.3

اضرب $48$ في $1$ .

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $48$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$18 x + 48 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $18 x + 48$ و $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 48$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $18 x + 48$ .

$18 x + 48$