حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{- 12 x - 2}{12 x - 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = - 12 x - 2$ و $g (x) = 12 x - 3$ .

$\frac{(12 x - 3) \frac{d}{d x} [- 12 x - 2] - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 12 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(12 x - 3) (\frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 12$ في $1$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(12 x - 3) (- 12 + 0) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $- 12$ و $0$ .

$\frac{(12 x - 3) \cdot - 12 - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

انقُل $- 12$ إلى يسار $12 x - 3$ .

$\frac{- 12 \cdot (12 x - 3) - (- 12 x - 2) \frac{d}{d x} [12 x - 3]}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.10

اضرب $12$ في $1$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.11

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) (12 + 0)}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

أضف $12$ و $0$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - (- 12 x - 2) \cdot 12}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.2.12.2

اضرب $12$ في $- 1$ .

$\frac{- 12 (12 x - 3) - 12 (- 12 x - 2)}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 12 (12 x) - 12 \cdot - 3 - 12 (- 12 x - 2)}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 12 (12 x) - 12 \cdot - 3 - 12 (- 12 x) - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $12$ في $- 12$ .

$\frac{- 144 x - 12 \cdot - 3 - 12 (- 12 x) - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $- 12$ في $- 3$ .

$\frac{- 144 x + 36 - 12 (- 12 x) - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.3

اضرب $- 12$ في $- 12$ .

$\frac{- 144 x + 36 + 144 x - 12 \cdot - 2}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.4

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$\frac{- 144 x + 36 + 144 x + 24}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 144 x + 36 + 144 x + 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

أضف $- 144 x$ و $144 x$ .

$\frac{0 + 36 + 24}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2.2

أضف $0$ و $36$ .

$\frac{36 + 24}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.3

أضف $36$ و $24$ .

$\frac{60}{{(12 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $12 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $12 x$ .

$\frac{60}{{(3 (4 x) - 3)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{60}{{(3 (4 x) + 3 (- 1))}^{2}}$

خطوة 1.3.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (4 x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{60}{{(3 (4 x - 1))}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (4 x - 1)$ .

$\frac{60}{3^{2} {(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{60}{9 {(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $60$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أخرِج العامل $3$ من $60$ .

$\frac{3 (20)}{9 {(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 {(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (20)}{3 (3 {(4 x - 1)}^{2})}$

خطوة 1.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 20}{3 (3 {(4 x - 1)}^{2})}$

خطوة 1.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{20}{3 {(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $\frac{20}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{20}{3 {(4 x - 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{2}}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{2}}]$

خطوة 2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{2}}$ بالصيغة ${({(4 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(4 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- 2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = 4 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x - 1$ .

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$\frac{20}{3} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x - 1$ .

$\frac{20}{3} (- 2 {(4 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{20}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 20}{3} ({(4 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

خطوة 2.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $- 2$ في $20$ .

$\frac{- 40}{3} ({(4 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

خطوة 2.3.2.2

اجمع ${(4 x - 1)}^{- 3}$ و $\frac{- 40}{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{- 3} \cdot - 40}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

خطوة 2.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

انقُل $- 40$ إلى يسار ${(4 x - 1)}^{- 3}$ .

$\frac{- 40 \cdot {(4 x - 1)}^{- 3}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

خطوة 2.3.2.3.2

انقُل ${(4 x - 1)}^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

خطوة 2.3.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.3.6

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} (4 + 0)$

خطوة 2.3.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أضف $4$ و $0$ .

$- \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}} \cdot 4$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 \frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.3.8.3

اجمع $- 4$ و $\frac{40}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 40}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.3.8.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.4.1

اضرب $- 4$ في $40$ .

$\frac{- 160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.3.8.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{160}{3 {(4 x - 1)}^{3}}$