حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{2} \sin (x) + 4 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} \sin (x) + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{2} \cos (x)) + 5 (\sin (x) (2 x)) + 4$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 \sin (x) x + 4$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 5 x^{2} \cos (x) + 10 x \sin (x) + 4$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} \cos (x) + 10 x \sin (x) + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.5

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x)) + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{2} (- \sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x)) + 0$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{2} (- \sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x)) + 10 \sin (x) + 0$

خطوة 2.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 (x^{2} (\sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x)) + 10 \sin (x) + 0$

خطوة 2.5.3.2

اضرب $2$ في $5$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 10 (\cos (x) (x)) + 10 (x \cos (x)) + 10 \sin (x) + 0$

خطوة 2.5.3.3

أضف $10 \cos (x) x$ و $10 x \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.3.1

انقُل $\cos (x)$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 10 x \cos (x) + 10 x \cos (x) + 10 \sin (x) + 0$

خطوة 2.5.3.3.2

أضف $10 x \cos (x)$ و $10 x \cos (x)$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x) + 0$

خطوة 2.5.3.4

أضف $- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$ و $0$ .

$f'' (x) = - 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$